Idéographie

L'idéographie est un langage entièrement formalisé découvert par le logicien Gottlob Frege et qui a pour but représenter de manière idéale la logique mathématique.



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Philosophie analytique - Courant philosophique - Œuvre de logique - Théorie de la démonstration

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  • C'est l'objectif de l'idéographie. En effet, l'idéographie est un langage graphique parfait découvert pour tenter de représenter de manière idéale la logique... (source : laligue35)

L'idéographie (Begriffsschrift) est un langage entièrement formalisé découvert par le logicien Gottlob Frege et qui a pour but représenter de manière idéale la logique mathématique.

Introduction

Le projet d'un langage entièrement formalisé n'est pas nouveau : Leibniz avait déjà lui-même développé un tel projet sous le nom de caractéristique universelle mais sans réussir à aboutir.

Naissance de l'idéographie

La première publication portant sur l'idéographie est le texte éponyme Idéographie (Begriffschrift) publié en 1879. Frege continua à travailler à l'idéographie dans Les Fondements de l'arithmétique (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884).

Représentation graphique de l'idéographie

Ce langage utilise le plan comme espace de travail et ne se limite pas à la ligne (comme la logique d'aujourd'hui, basée sur les Principia Mathematica de Bertrand Russell et Alfred North Whitehead qui en est tributaire). Ce langage est actuellement inutilisé même s'il en subsiste des traces par exemple dans le symbole de négation «¬», de conséquence «⊢» ou de tautologie «⊨».


Idéographie   Signification Explication
-A
A est une proposition, on l'affirme logiquement A veut dire quelque chose qui a un sens et qu'on peut juger soit vrai soit faux, le trait horizontal est nommé trait de contenu
--A
A est aussi une proposition, on exprime sa négation logique A est une proposition niée mais attention, on n'a pas pour tout autant écrit que A était fausse
+-A
A est une tautologie A est une proposition —donc A veut dire quelque chose— et de plus A est vraie, le trait vertical est nommé trait de jugement
+--A
A est une contradiction A est une proposition et de plus A est fausse
---B
 +-A

ou

----A
 +--B
A implique B L'implication est décrite par Frege comme B ou non A, il s'agit de l'implication logique classique, voir ci-après
----B
 +--A
non A implique B, soit A ou B Vu la ligne supérieure, on a B ou non non A, soit B ou A
----B
 +--A
(non A) implique (non B)
----B
 +--A
A implique non B, soit non (A et B) Il est faux que A et non non B
----B
 +--A
non (non A implique B) non (A ou B)
----B
 +--A
non (A implique non B) A et B
-----A
 ¦ +-B
 +---B
   +-A
A est équivalent à B
-- A = B
A et B ont le même contenu Il faut différencier l'équivalence logique de l'identité de contenu

L'implication est exprimée par Frege ainsi, lorsque on a deux propositions A et B, on a 4 cas :

  1. A est affirmé et B est affirmé
  2. A est affirmé et B est nié
  3. A est nié et B est affirmé
  4. A est nié et B est nié

L'implication B implique A (B⊃A) nie le troisième cas, en d'autres termes il est faux qu'on a à la fois B vrai et A faux.

L'idéographie est construite sur l'implication, ce qui favorise l'usage de la règle du détachement, c'est-à-dire que si A est vraie et si A implique B est vraie, alors B est aussi vraie (A ∧ (A⊃B) ) ⊃ B.
Elle contient le quantificateur universel ∀, codé par un petit creux surmonté d'une lettre gothique qui remplace le trait - (pas disponible en unicode). Le carré logique est aussi présent.
Elle contient aussi la définition, codée dans l'idéographie par le caractère unicode suivant : ¦-.

Dépassement de la logique de Frege

La présentation axiomatisée de logique chez Frege qui repose sur l'idéographie utilisée entre autres dans les Lois principales de l'arithmétique (Grundgesetze der Arithmetik) a été mise à mal par le paradoxe de Russell. Elle contient en plus de la version de 1879 la loi V qui aboutit à une contradiction comme ∃x (F (x) ∧¬F (x) ). L'idéographie de 1879 et les théorèmes des Grundgesetze der Arithmetik utilisant cette loi V sont tout de même valides.
Cette loi V exprime que deux extensions de concepts sont semblables lorsqu'il s ont les mêmes cas de vérités, soit comme l'écrit Frege dans les Lois principales ἐF (ε) = ἀG (α) = ∀x (F (x) = G (x) ), ce qui établit une équipotence (même cardinal) entre la totalité des extensions de concepts et celui des concepts, ce qui est contredit par le fait qu'un ensemble a un cardinal strictement inférieur à celui de la totalité de ses sous-ensembles. Qui plus est , un corollaire de cette loi V est que tout concept admet une extension, y compris les plus farfelus comme ce dernier «être une extension du concept sous lequel on ne tombe pas» qui, exprimé dans l'idéographie des Lois principales ainsi x=εF ∧ ¬F (x), aboutit au paradoxe du barbier.

Bibliographie

Voir aussi



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