Langage formel

Dans de nombreux contextes, on sert à désigner par langage formel un mode d'expression plus formalisé et plus précis que le langage de l'ensemble des jours.



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  • Site inherent : Langage formel mathématique on encyclopedie-enligne. com! (source : encyclopedie-enligne)

Dans de nombreux contextes (scientifique, légal, etc. ), on sert à désigner par langage formel un mode d'expression plus formalisé et plus précis (les deux n'allant pas obligatoirement de pair) que le langage de l'ensemble des jours (voir langage naturel).

En mathématiques, logique et informatique, un langage formel est constitué :

La force des langages formels est de pouvoir faire abstraction de la sémantique, ce qui rend les théories réutilisables dans plusieurs modèles. Ainsi, tandis qu'un calcul spécifique de paye ou de matrice inverse restera toujours un calcul de paye ou de matrice inverse, un théorème sur les groupes s'appliquera autant sur la totalité des entiers que sur les transformations du cube de Rubik.

Le langage formel, outil de travail

Le langage formel d'une discipline scientifique est un langage obéissant à une syntaxe formelle stricte, permettant de exposer des énoncés de manière précise, si envisageable concise et sans ambiguïté ; ce qui l'oppose au langage naturel.

Langage formel contre langage naturel

Le langage formel a pour avantage de rendre aisées la manipulation et la transformation d'énoncés. Des règles de transformation précises (développement de formules logiques, formes normales, contrapositions, commutativité, associativité, etc. ) peuvent être appliquées sans même connaître la signification de l'énoncé transformé ou la signification de la transformation. C'est un outil d'exploration puissant, et c'est l'unique langage qui permette aux machines de «faire des mathématiques».

L'inconvénient est évident : ne pas connaître le sens de l'énoncé empêche de savoir quelles sont les transformations pertinentes et nuit à l'intuition du raisonnement. Ainsi, il est bon de savoir lire rapidement un énoncé en langage formel et de le traduire tout aussi rapidement en un ou plusieurs énoncés du langage naturel, plus significatif.

Compréhension avec ordinateurs

Dès le début de l'informatique les chercheurs ont développé des outils d'aide à la traduction des langages, pour passer du format externe au format interne de l'ordinateur. Les outils les plus connus sont Lex et Yacc. D'autres chercheurs ont défini la sémantique des langages de programmation.

Dans l'histoire des mathématiques et des sciences

Avant le XXe siècle

Les mathématiques existent depuis l'Antiquité mais la manière de les exprimer a beaucoup évolué.

Comme pour toute discipline, le langage de la discipline ne préexiste pas à la discipline elle-même. Il a par conséquent fallu utiliser des langues qui n'ont pas été construites pour les mathématiques, qui progressivement se sont enrichies d'un jargon spécifique.

Ainsi, bien des énoncés mathématiques anciens nous paraissent actuellement avoir une formulation plutôt alambiquée, surchargée de périphrases lorsqu'il n'existe pas de mots pour désigner certains concepts.

Le jargon s'est par conséquent enrichi au cours des siècles et continue toujours d'évoluer.

Parallèlement à ce phénomène, s'est progressivement constitué le langage formel qui est devenu celui que nous connaissons, le langage naturel ne s'étant montré ni assez précis ni assez concis.

Leibniz fut l'un des premiers à imaginer construire un langage formel, sous le nom de caractéristique universelle, qui pourrait permettre de diminuer l'ensemble des obscurités et équivocités du langage naturel. Un projet d'éclaircissement du langage naturel avait déjà été formulé par Hobbes et Locke, mais Leibniz l'a porté à un niveau d'universalité inédit. Quoiqu'il échouât dans ce projet, ce dernier fut repris, et a été l'un des objectifs principaux du Cercle de Vienne, au début du XXe siècle.

Au XXe siècle

Au début du XXe siècle, le mathématicien David Hilbert, et avec lui, les formalistes pensaient pouvoir unifier les mathématiques grâce à une axiomatisation générale ainsi qu'à l'usage d'un langage formel commun.

Cette vision des mathématiques fut mise à mal en 1931 quand le logicien Kurt Gödel annonça son célèbre théorème d'incomplétude qui démontre que dans tout dispositif formel contenant l'arithmétique, il existe au moins une proposition indécidable.

Pour revenir aux langages formels, la conséquence de ce théorème est la suivante : étant donné un langage formel, ses axiomes, et son dispositif de déduction formel capables d'exprimer l'arithmétique, on peut énoncer une proposition de ce langage qui ne peut pas être prouvée dans ce dispositif, mais dont la négation non plus ne peut l'être. On aura beau formaliser les mathématiques, on trouvera toujours un énoncé formel dont la démonstration oblige à quitter ou élargir ce formalisme en ajoutant de nouveaux axiomes, ce qui introduira immanquablement de nouveaux énoncés indécidables. Ainsi l'approche formaliste, qui reste néenmoins valable, a désormais des limites connues.

Dans la seconde moitié du XXe siècle, l'avènement des ordinateurs et de l'informatique a donné une place spécifique aux langages formels comme outils et comme objets d'étude, ce qui était assez nouveau.

Aujourd'hui (début du XXIe siècle)

Les traités de mathématiques utilisent à la fois langage formel et langage naturel. Le langage formel est réservé aux passages techniques ainsi qu'aux énoncés suffisamment simples pour ne pas nécessiter d'amples explications, et les résultats importants sont fréquemment explicités à la fois en langage formel et naturel.

Le langage formel mathématique contemporain est décrit dans cet article.

Les langages formels, objet d'étude

Les langages formels sont aussi l'objet d'étude d'une branche à part entière de la logique et de l'informatique théorique. Cette étude est fortement liée à la théorie de la calculabilité. En effet le propre d'un langage formel, comme langage, c'est de pouvoir être traité par un ordinateur, ou par son modèle formel : la machine de Turing.

Définitions

Comme objet d'étude, un langage formel est défini comme un ensemble de mots de longueur finie (c'est-à-dire chaînes de caractères) déduit d'un certain alphabet fini, c'est-à-dire une partie du monoïde libre sur cet alphabet.

Typiquement, un alphabet serait : {a, b}, et un mot sur cet alphabet serait : ababba.

Un langage typique sur cet alphabet, et qui contiendrait ce mot, serait la totalité de l'ensemble des mots qui contiennent le même nombre de symboles a et b.

Le mot vide (le mot de longueur nulle) est autorisé et est noté ε. Quoique l'alphabet soit un ensemble fini et que chaque mot ait une longueur finie, un langage peut particulièrement bien contenir une illimitété de mots (parce que la longueur de ses mots peut ne pas être bornée).

Exemples

Quelques exemples de langages formels :

Construction d'un langage formel

Un langage formel peut être spécifié par différents moyens, comme :

Plusieurs opérations peuvent être utilisées pour fabriquer de nouveaux langages à partir de ceux qu'on connaît. Supposons que L1 et L2 soient des langages sur un certain alphabet commun.

Appartenance, calculabilité et complexité

Des questions typiques qu'on se pose à propos d'un langage formel sont les suivantes :

Ces questions relèvent des domaines de la théorie de la calculabilité et de la théorie de la complexité.

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 09/03/2010.
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